问题

牙高出厂价的定价问题.

建模过程

(1) 模型准备.

在日常生活中我们知道, 在商店买一种商品时, 买大包装比小包装合算, 这是由出厂价 决定的. 如某工厂生产某牙商 $60 \mathrm{~g}$ 装的出厂价为每支 $11.5$ 元, $150 \mathrm{~g}$ 装的牙高出厂价为每支 25 元. 显然二者单位质量的价格比为 $11.5: 1$, 现在该厂根据市场需求要生产 $180 \mathrm{~g}$ 装的这种 牙高, 请你确定这种牙䨐的合理出厂价格.

（2）模型假设.

(i) 牙高的出厂价格 $y$ 只由生产牙京的成本 $y_1$ 和包装成本 $y_2$ 决定; (ii) 假设生产成本与牙蔏(不包括牙蔏皮) 的质量成正比; （iii）假设包装成本与牙景売的表面积成正比; (iv) 牙言売里的牙䯨都是满装.

(3) 模型建立.

设生产成本 $y_1$ 与牙槀质量 $w$ 的比例系数为 $k_1$, 则 $y_1=k_1 \cdot w_j$, 包装成本 $y_2$ 与牙膏壳的表 面积 $S_w$ 的比例系数为 $k_2$, 则 $y_2=k_2 \cdot S_w$. 于是 $y=y_1+y_2=k_1 \cdot w_j+k_2 \cdot S_w$ 即为 $w \mathrm{~g}$ 装的牙高出厂价格, 显然 $y$ 是一个与 $w$ 有关 的变量. 本题即求解当 $w=180$ 时 $y$ 的值.

(4) 模型求解.

由于 $60 \mathrm{~g}$ 装的出厂价为每支 $11.5$ 元, 则有 $11.5=k_1 \times 60+k_2 \times S_{60}$, 即

  1. $5-k_1 \times 60=k_2 \times S_{60}$ 由于 $150 \mathrm{~g}$ 装的出厂价为每支 25 元, 则有 $25=k_1 \times 150+k_2 \times S_{\text {150 }}$, 即 $$ 25-k_1 \times 150=k_2 \times S_{150} $$ 于是 $180 \mathrm{~g}$ 装的出厂价格为 $y=k_1 \times 180+k_2 \times S_{\text {180 }}$, 即 $$ y-k_1 \times 180=k_2 \times S_{180} $$ 注意到表面积 $S$ 与体和 $u$ 的关系 (2) $\div$ (1) 可得 $$ \frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{w_1}{w_2}\right)^{\frac{2}{3}} $$ $$ \frac{25-k_1 \times 150}{11.5-k_1 \times 60}=\frac{S_{150}}{S_{60}}=\left(\frac{150}{60}\right)^{\frac{2}{3}} $$ 解得 $k_1 \approx 96.68 \times 10^{-3}$. 再由 (3) $\div$ (1) 可得
$$ \frac{y-k_1 \times 180}{11.5-k_1 \times 60}=\frac{S_{180}}{S_{60}}=\left(\frac{180}{60}\right)^{\frac{2}{3}} $$

代人 $k_1 \approx 96.68 \times 10^{-3}$ 可得 $y \approx 29.3$, 即通过此模型求得 $180 \mathrm{~g}$ 装的这种牙雷的合理出厂价 格应为 $29.3$ 元.

(5) 模型分析.

（i）牙共的实际出厂价格除了生产牙軎成本和包装成本外，还应包括外包装盒等其他 部分的成本, 此模型只考虑这两部分主要成本, 与实际情况有一定的差距. 都是一种理想情况, 是为了简化模型, 便于求解, 它们之间的实际关系还应通过具体的调查分析得到.
(iii) 在此模型合理成分的基础上, 我们还可以考虑运输成本以及销售商的利润等因 素, 进一步改进模型,从而确定这种牙㝘的一个合理市场售价.

(6) 模型检验.

将此模型计算所得结果 $29.3$ 元与 $180 \mathrm{~g}$ 装的这种牙叀的实际出厂价格进行比较, 根据 实际情况, 在一定误差范围内检验此模型是否合乎实际, 若合乎实际, 应用此结果, 还可利用 此模型确定 $250 \mathrm{~g}$ 装、 $300 \mathrm{~g}$ 装等这种牙䨐的出厂价格. 如果不合实际, 应分析原因并对模型进行改进.

摘自